设f(χ)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,f′(a)<0,f〞(χ)≤0(χ>a),则f(χ)在[a,+∞)内( ).

admin2021-10-08  21

问题 设f(χ)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,f′(a)<0,f〞(χ)≤0(χ>a),则f(χ)在[a,+∞)内(    ).

选项 A、无根
B、有两个根
C、有无穷多个根
D、有且仅有一个根

答案D

解析 f(χ)=f(a)+f′(a)(χ-a)+(χ-a)2,其中ξ介于a与χ之间.
    因为f(a)=A>0,f(χ)=-∞,所以f(χ)在[a,+∞)上至少有一个根.
    由f〞(χ)≤0(χ>a)f′(χ)单调不增,所以当χ>a时,f′(χ)≤f′(a)<0f(χ)在[a,+∞)为单调减函数,所以根是唯一的,选D.
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