首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证;存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证;存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可
admin
2022-11-23
55
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证;存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>
,证明(1)中的x
0
是唯一的.
选项
答案
证法一 (1)设F(x)=x∫
x
1
f(t)dt,则F(0)=F(1)=0,且F’(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x). 对F(x)在[0,1]上应用罗尔定理知,存在一点x
0
∈(0,1).使得F’(x
0
)=0.因而 [*]f(x)dx-x
0
f(x
0
)=0. 即矩形面积x
0
f(x
0
)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx. (2)设φ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x),则当x∈(0,1)时,有φ’(x)=-f(x)-f(x)-xf’(x)<0,从而φ(x)在区间(0,1)内单调减少,故此时(1)中的x
0
是唯一的. 证法二 (1)设在区间(a,1)(a≥1/2)内取x
1
,若在区间[x
1
,1]上f(x)≡0,则(x
1
,1)内任一点都可作为x
0
,否则可设f(x
2
)>0为连续函数f(x)在区间[x
1
,1]上的最大值,x
2
∈[x
1
,1].在区间[0,x
2
]上,作辅助函数φ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x),则φ(x)连续,且φ(0)>0.又 φ(x
2
)=[*]f(t)dt-x
2
f(x
2
)≤(1-2x
2
)f(x
2
)<0. 因而由闭区间上连续函数的介值定理,存在一点x
0
∈(0,x
2
)[*](0.1),使φ(x
0
)=0.即 [*]f(t)dt=x
0
f(x
0
). (2)同证法一.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vPgD777K
0
考研数学三
相关试题推荐
“三农问题”是指当代中国的农业、农村、农民三个问题。()
“明月照窗棂,个个孔明诸葛亮;大雪飘梅岭,处处香山白乐天。”这副对联:“个个”与“处处”是()
下列行为如满足数额条件,应认定为伪造货币罪的是
某酒店建立了房客信息数据库,但因自身技术人员的疏忽存在系统漏洞。网民王某利用上述漏洞获取了该酒店房客信息,并将这些信息在网上公开,导致房客孙某因个人信息泄露遭受损失。孙某的损失应当由
甲水产品养殖基地违反规定,擅自将电路改造,该市供电公司决定对其进行处罚,停止向其供电,造成甲养殖基地所养殖的水产品因缺氧而大面积死亡,总损失500万元。该损失应由()。
甲、乙、丙、丁、戊共有一栋分十个单元的联体商品住宅楼,每一单元所占专有部分的面积相同。甲拥有第一至第四单元,乙拥有第五、第六、第七单元,丙、丁、戊分别拥有第八、第九、第十单元。若业主大会欲筹集建筑物及其附属设施的维修基金,则()。
某高校学生在足球场踢足球,甲踢出的足球击中地面一块石头,石头反弹击中同学乙的头部,造成乙头部受伤。对此,下列表述正确的是()。
某国东部沿海有5个火山岛E、F、G、H、I,它们由北至南排列成一条直线,同时发现:(1)F与H相邻并且在H的北边。(2)Ⅰ和E相邻。(3)G在F的北边某个位置。假如I在G北边的某个位置,下面哪项陈述一定为真?
一个看电视的孩子经历了一个声音和图像迅速闪过屏幕的过程,其速度之快仅允许让眼睛和耳朵感觉这些过程。不像书页,可以按其愿望或快或慢地看,电视画面以过快的速度在打击而不是提高孩子的想象力。上面所表达的推理基于一个假设,下列哪一个最好地充当了那个假设?
如图5-3所示,一个内直径是8cm的瓶子里,水的高度为7cm.把瓶盖拧紧倒置放平,无水部分是圆柱体,高度是18cm,则这个瓶子的容积是()cm3。
随机试题
境外生产的药品在中国境内上市销售的注册申请为()
外墙面砖镶贴的开始部位应是()。
FIDIC通用条件给予承包商延长工期的理由有( )。
下列说法中,符合《公司法司法解释(三)》有关规定的有()。
在Excel工作表单元格中,输入()是错误的。
一般塑在天王殿的佛像有()。
陈述性知识的运用不包括()。
电话拨号连接是计算机个人用户常用的接入因特网的方式。称为“非对称数字用户线”的接入技术的英文缩写是___________。
Withthebreakneckspeedatwhichtoday’sbusinessesmove,there’sonemantrawe’dalldowelltoremember;Changeisconstant.
It’sabouttimewe______pouringwastewaterintotheriver.
最新回复
(
0
)