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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证;存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证;存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可
admin
2022-11-23
71
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证;存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>
,证明(1)中的x
0
是唯一的.
选项
答案
证法一 (1)设F(x)=x∫
x
1
f(t)dt,则F(0)=F(1)=0,且F’(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x). 对F(x)在[0,1]上应用罗尔定理知,存在一点x
0
∈(0,1).使得F’(x
0
)=0.因而 [*]f(x)dx-x
0
f(x
0
)=0. 即矩形面积x
0
f(x
0
)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx. (2)设φ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x),则当x∈(0,1)时,有φ’(x)=-f(x)-f(x)-xf’(x)<0,从而φ(x)在区间(0,1)内单调减少,故此时(1)中的x
0
是唯一的. 证法二 (1)设在区间(a,1)(a≥1/2)内取x
1
,若在区间[x
1
,1]上f(x)≡0,则(x
1
,1)内任一点都可作为x
0
,否则可设f(x
2
)>0为连续函数f(x)在区间[x
1
,1]上的最大值,x
2
∈[x
1
,1].在区间[0,x
2
]上,作辅助函数φ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x),则φ(x)连续,且φ(0)>0.又 φ(x
2
)=[*]f(t)dt-x
2
f(x
2
)≤(1-2x
2
)f(x
2
)<0. 因而由闭区间上连续函数的介值定理,存在一点x
0
∈(0,x
2
)[*](0.1),使φ(x
0
)=0.即 [*]f(t)dt=x
0
f(x
0
). (2)同证法一.
解析
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0
考研数学三
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