2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证；存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证；存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可

admin2022-11-23  53
问题 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
    (1)试证；存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．
    (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的x0是唯一的．
选项
答案证法一 (1)设F(x)=x∫x1f(t)dt，则F(0)=F(1)=0，且F’(x)=∫x1f(t)dt-xf(x)． 对F(x)在[0，1]上应用罗尔定理知，存在一点x0∈(0，1)．使得F’(x0)=0．因而 [*]f(x)dx-x0f(x0)=0． 即矩形面积x0f(x0)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx． (2)设φ(x)=∫x1f(t)dt-xf(x)，则当x∈(0，1)时，有φ’(x)=-f(x)-f(x)-xf’(x)＜0，从而φ(x)在区间(0，1)内单调减少，故此时(1)中的x0是唯一的． 证法二 (1)设在区间(a，1)(a≥1／2)内取x1，若在区间[x1，1]上f(x)≡0，则(x1，1)内任一点都可作为x0，否则可设f(x2)＞0为连续函数f(x)在区间[x1，1]上的最大值，x2∈[x1，1]．在区间[0，x2]上，作辅助函数φ(x)=∫x1f(t)dt-xf(x)，则φ(x)连续，且φ(0)＞0．又 φ(x2)=[*]f(t)dt-x2f(x2)≤(1-2x2)f(x2)＜0． 因而由闭区间上连续函数的介值定理，存在一点x0∈(0，x2)[*](0．1)，使φ(x0)=0．即 [*]f(t)dt=x0f(x0)． (2)同证法一．
解析
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考研数学三

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