设f(x)＝xe-x，求fn(x)．

admin2013-01-07 24

问题设f(x)＝xe^-x，求fⁿ(x)．

选项

答案fˊ(x)＝e^-x+e^-x(-1)x ＝(1-x)e^-x ＝-(x-1)e^-x f〞(x)＝-e^-x＋xe^-x-e^-x ＝(-1)²(x-2)e^-x f’’’(x)＝(-1)³(x-3)e^-x f^(k)(x)＝(-1)^k(x-k)e^-x f^(k+1)(x)＝((-1)^k(x-k)e^-x)ˊ ＝(-1)^k[e^-x+(x-k)(-e^-x)] ＝(-1)^k+1(x-(k+1))e^-x 由数学归纳法知 f(n)(x)＝(-1)ⁿ(x-n)e^-x

解析

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