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  3. 计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。

计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。

admin2018-05-25  39
问题 计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。
选项
答案取∑为xOy平面上被圆x2+y2=1所围成部分的下侧，记Ω为由∑与∑围成的空间闭区域，则 I=[*]2x3dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy一[*]2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy。 由高斯公式知 [*]2x3dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy=[*](x2+y2+z)dxdydz =6∫02πdθ∫01dρ[*](z+ρ2)ρdz =12π∫01[[*]ρ(1—ρ2)2+ρ3(1—ρ2)]dρ=2π， 又有 [*]2x3dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy=一[*]一3dxdy=3π。 故I=2π一3π=一π。
解析
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考研数学一

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