计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。

admin2018-05-25 54

问题计算曲面积分I=

2x³dydz+2y³dzdx+3(z²一1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x²一y²(z≥0)的上侧。

选项

答案取∑为xOy平面上被圆x²+y²=1所围成部分的下侧，记Ω为由∑与∑围成的空间闭区域，则 I=[*]2x³dydz+2y³dzdx+3(z²—1)dxdy一[*]2x³dydz+2y³dzdx+3(z²一1)dxdy。由高斯公式知 [*]2x³dydz+2y³dzdx+3(z²—1)dxdy=[*](x²+y²+z)dxdydz =6∫₀^2πdθ∫₀¹dρ[*](z+ρ²)ρdz =12π∫₀¹[[*]ρ(1—ρ²)²+ρ³(1—ρ²)]dρ=2π，又有 [*]2x³dydz+2y³dzdx+3(z²—1)dxdy=一[*]一3dxdy=3π。故I=2π一3π=一π。

解析

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