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计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。
计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2一1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧。
admin
2018-05-25
80
问题
计算曲面积分I=
2x
3
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
一1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x
2
一y
2
(z≥0)的上侧。
选项
答案
取∑为xOy平面上被圆x
2
+y
2
=1所围成部分的下侧,记Ω为由∑与∑围成的空间闭区域,则 I=[*]2x
3
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
—1)dxdy一[*]2x
3
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
一1)dxdy。 由高斯公式知 [*]2x
3
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
—1)dxdy=[*](x
2
+y
2
+z)dxdydz =6∫
0
2π
dθ∫
0
1
dρ[*](z+ρ
2
)ρdz =12π∫
0
1
[[*]ρ(1—ρ
2
)
2
+ρ
3
(1—ρ
2
)]dρ=2π, 又有 [*]2x
3
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
—1)dxdy=一[*]一3dxdy=3π。 故I=2π一3π=一π。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vQg4777K
0
考研数学一
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