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设向量组(i)α1=(2,4,一2)T,α2=(一1,a一3,1)T,α3=(2,8,b一1)T; (ii)β1=(2,b+5,一2)T,β2=(3,7,a一4)T,β3=(1,2b+4,一1)T. 记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3).
设向量组(i)α1=(2,4,一2)T,α2=(一1,a一3,1)T,α3=(2,8,b一1)T; (ii)β1=(2,b+5,一2)T,β2=(3,7,a一4)T,β3=(1,2b+4,一1)T. 记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3).
admin
2016-04-14
58
问题
设向量组(i)α
1
=(2,4,一2)
T
,α
2
=(一1,a一3,1)
T
,α
3
=(2,8,b一1)
T
;
(ii)β
1
=(2,b+5,一2)
T
,β
2
=(3,7,a一4)
T
,β
3
=(1,2b+4,一1)
T
.
记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
).
问(Ⅰ)a,b为何值时,A等价于B,a,b为何值时,A和B不等价;
(Ⅱ)a,b为何值时,向量组(i)等价于(ii),a,b为何值时,向量组(i)、(ii)不等价.
选项
答案
[*] 将A,B合并,一起作初等行变换, (A|B)=(α
1
,α
2
,α
3
|β
1
,β
2
,β
3
)= [*] 当a≠1且b≠一1时,r(A)=r(B)=3,[*] a=1或b=一1时,r(A)=r(B)=2,[*] (Ⅱ)[*]向量组可以相互表出[*](α
1
,α
2
,α
3
)X=β
i
,(β
1
,β
2
,β
3
)Y=α
i
,i=1,2,3均有解[*]r(i)=r(i|β
i
),r(ii)=r(ii|α
i
),i=1,2,3[*]r(i)=r(ii)=r(i|ii). 由(Ⅰ)知, a≠1,b≠—1时,r(i)=r(ii)=r(i|ii)=3,[*]; a=1,b=一1时,r(i)=r(ii)=r(i|ii)=2,[*] a=1,b≠一1时,r(i)=r(ii)=2≠r(i|ii)=3,(β
1
,β
2
,β
3
)Y=α
3
无解,(i),(ii)不等价; a≠1,b=一1时,r(i)=r(ii)=2≠r(i|ii)=3,(α
1
,α
2
,α
3
)x=β
3
无解,(i),(ii)不等价.
解析
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考研数学一
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