设，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足Ax一XA=0的所有X； (Ⅱ)方程Ax一XA=E，其中E是2阶单位矩阵，问方程是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

admin2016-04-14 39

问题设

，X是2阶方阵．
(Ⅰ)求满足Ax一XA=0的所有X；
(Ⅱ)方程Ax一XA=E，其中E是2阶单位矩阵，问方程是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

选项

答案(Ⅰ)用待定元素法求X．设 [*] 代入方程，则 [*] 各元素为零，得齐次线性方程组 [*] 对系数矩阵B作初等行变换 [*] 得基础解系α₁=(2，2，1，0)^T，α₂=(1，0，0，1)^T，通解为[*]=k₁α₁+k₂α₂=[*]，其中k₁，k₂是任意常数．则[*]，其中k₁，k₂是任意常数． [*] 得线性非齐次方程 [*] 显然，方程组中第1个和第4个方程是矛盾的，故Ax—xA=E无解．

解析

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考研数学一

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设，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足Ax一XA=0的所有X； (Ⅱ)方程Ax一XA=E，其中E是2阶单位矩阵，问方程是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

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