2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Aχ＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为 χ＝k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1 (其中k1＋…kn-r+1＝1)．

设非齐次线性方程组Aχ＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为 χ＝k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1 (其中k1＋…kn-r+1＝1)．

admin2022-04-05  13
问题 设非齐次线性方程组Aχ＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为
    χ＝k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1  (其中k1＋…kn-r+1＝1)．
选项
答案设χ为Aχ＝b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Aχ＝b的解． 取ξ1＝η2－η1，ξ2＝η3－η1，…，ξn-r＝ηn-r+1－η1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程Aχ＝0的解． 下面用反证法证： 设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r使得 l1ξ1＋l2ξ2＋…＋ln-rξn-r＝0， 即l1(η2－η1)＋l2(η3－η1)＋…＋ln-r(ηn-r+1－η1)＝0， 亦即－(l1＋l2＋…＋ln-r)η1＋l1η2＋l2η3＋…＋ln-rηn-r+1＝0． 由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知 －(l1＋l2＋…＋ln-r)＝l1＝l2＝…＝ln-r＝0，与 与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立．因此ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，是Aχ＝0的一组基． 由于χ，η1均为Aχ＝b的解，所以χ－η1，为Aχ＝0的解，因此χ－η1，可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，一线性表示，设 χ－η1＝k2ξ1＋k3ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r ＝k2(η2－η1)＋k3(η3－η1)＋…＋kn-r+1(ηn-r+1－η1)， 则χ＝η1(1－k2－k3－…－kn-r+1)＋k2η2＋k3η3＋…＋kn-r+1ηn-r+1＝0， 令k1＝1－k2－k3－…－kn-r+1，则k1＋k2＋k3＋…＋kn-r+1＝1，从而 χ＝k1η1＋k2η2＋…＋kn-r+1ηn-r+1恒成立．
解析
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