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计算三重积分I=(χ+y+z)2dV,其中 (Ⅰ)Ω{(χ,y,z)|χ2+y2+z2≤4,z≥}; (Ⅱ)Ω{(χ,y,z)|χ2+y2+z2≤4,χ2+y2+z2≤4z}.
计算三重积分I=(χ+y+z)2dV,其中 (Ⅰ)Ω{(χ,y,z)|χ2+y2+z2≤4,z≥}; (Ⅱ)Ω{(χ,y,z)|χ2+y2+z2≤4,χ2+y2+z2≤4z}.
admin
2018-06-12
57
问题
计算三重积分I=
(χ+y+z)
2
dV,其中
(Ⅰ)Ω{(χ,y,z)|χ
2
+y
2
+z
2
≤4,z≥
};
(Ⅱ)Ω{(χ,y,z)|χ
2
+y
2
+z
2
≤4,χ
2
+y
2
+z
2
≤4z}.
选项
答案
这二个区域Ω的共同点是,它们关于yz平面与zχ平面均对称,当被积函数对χ或对y是奇函数时,则在Ω上的三重积分值为零.于是 I=[*](χ
2
+y
2
+z
2
)aV+2[*](χy+yz+zχ)dV=[*](χ
2
+y
2
+z
2
)dV. 下面分别就上述两种区域Ω求积分值I. (Ⅰ)Ω由上半球面[*]=2及锥面z=[*]围成.如图24—6(a)所示.它们的交线是: [*] 作球坐标变换,则Ω的球坐标表示为:0≤ρ≤2,0≤φ≤[*],0≤θ≤2π.于是 [*] (Ⅱ)Ω是两个球体χ
2
+y
2
+z
2
≤4与χ
2
+y
2
+z
2
≤4z(χ
2
+y
2
+(z-2)
2
≤4)的公共部分,两球面的交线是 [*] 图24—6(b)是Ω在yz平面上的截面图.作球坐标变换,并用锥面z=[*]将Ω分成Ω=Ω
1
=Ω
2
.其中 Ω
1
={(χ,y,z)|χ
2
+y
2
+z
2
≤4,z≥[*]}, Ω
2
={(χ,y,z)|χ
2
+y
2
+z
2
≤4z,z≤[*]}. 用球坐标表示: Ω
1
:0≤ρ≤2,0≤φ≤[*],0≤θ≤2π, Ω
2
:0≤ρ≤4cosφ,[*],0≤θ≤2π. 这里球面χ
2
+y
2
+z
2
=4z的球坐标方程是:ρ=4cosφ.因此 [*]
解析
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考研数学一
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