2. 考研
  3. 计算三重积分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中 (Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}； (Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．

计算三重积分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中 (Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}； (Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．

admin2018-06-12  55
问题 计算三重积分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中
    (Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}；
    (Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．
选项
答案这二个区域Ω的共同点是，它们关于yz平面与zχ平面均对称，当被积函数对χ或对y是奇函数时，则在Ω上的三重积分值为零．于是 I＝[*](χ2＋y2＋z2)aV＋2[*](χy＋yz＋zχ)dV＝[*](χ2＋y2＋z2)dV． 下面分别就上述两种区域Ω求积分值I． (Ⅰ)Ω由上半球面[*]＝2及锥面z＝[*]围成．如图24—6(a)所示．它们的交线是： [*] 作球坐标变换，则Ω的球坐标表示为：0≤ρ≤2，0≤φ≤[*]，0≤θ≤2π．于是 [*] (Ⅱ)Ω是两个球体χ2＋y2＋z2≤4与χ2＋y2＋z2≤4z(χ2＋y2＋(z－2)2≤4)的公共部分，两球面的交线是 [*] 图24—6(b)是Ω在yz平面上的截面图．作球坐标变换，并用锥面z＝[*]将Ω分成Ω＝Ω1＝Ω2．其中 Ω1＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥[*]}， Ω2＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4z，z≤[*]}． 用球坐标表示： Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤[*]，0≤θ≤2π， Ω2：0≤ρ≤4cosφ，[*]，0≤θ≤2π． 这里球面χ2＋y2＋z2＝4z的球坐标方程是：ρ＝4cosφ．因此 [*]
解析
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考研数学一

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