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已知y1*(χ)=χe-χ+e-2χ,y2*(χ)=χe-χ+χe-2χ,y3*(χ)=χe-χ+e-2χ+χe-2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞+py′+qy=f(χ)的三个解,则这个方程是_______.
已知y1*(χ)=χe-χ+e-2χ,y2*(χ)=χe-χ+χe-2χ,y3*(χ)=χe-χ+e-2χ+χe-2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞+py′+qy=f(χ)的三个解,则这个方程是_______.
admin
2016-07-20
58
问题
已知y
1
*
(χ)=χe
-χ
+e
-2χ
,y
2
*
(χ)=χe
-χ
+χe
-2χ
,y
3
*
(χ)=χe
-χ
+e
-2χ
+χe
-2χ
是某二阶线性常系数微分方程y〞+py′+qy=f(χ)的三个解,则这个方程是_______.
选项
答案
y〞+4y′+4y=(χ+2)e
-χ
.
解析
(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理
y
1
(χ),y
3
*
(χ)-y
2
*
(χ)=e
-2χ
,y
2
(χ)=y
3
*
(χ)-y
1
*
(χ)=χe
-2χ
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是重特征根λ=-2,
相应的特征方程为
(λ+2)
2
=0,即λ
2
+4λ+4=0,
原方程为y〞+4y′+4y=f(χ). (*)
又由叠加原理知,y
*
(χ)=χe
-χ
叫是它的特解,求导得
y
*′
(χ)=e
-χ
(1-χ),y
*〞
(χ)=e
-χ
(χ-2).
代入方程(*)得
e
-χ
(χ-2)+4e
-χ
(1-χ)+4χe
-χ
=f(χ)
(χ)=(χ+2)e
-χ
所求方程为y〞+4y′+4y=(χ+2)e
-χ
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