2. 考研
  3. 已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋e－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝f(χ)的三个解，则这个方程是_______．

已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋e－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝f(χ)的三个解，则这个方程是_______．

admin2016-07-20  61
问题 已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋e－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝f(χ)的三个解，则这个方程是_______．
选项
答案y〞＋4y′＋4y＝(χ＋2)e－χ．
解析 (Ⅰ)由线性方程解的叠加原理
    y1(χ)，y3*(χ)－y2*(χ)＝e－2χ，y2(χ)＝y3*(χ)－y1*(χ)＝χe－2χ
    均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重特征根λ＝－2，
    相应的特征方程为
    (λ＋2)2＝0，即λ2＋4λ＋4＝0，
    原方程为y〞＋4y′＋4y＝f(χ)．    (*)
    又由叠加原理知，y*(χ)＝χe－χ叫是它的特解，求导得
    y*′(χ)＝e－χ(1－χ)，y*〞(χ)＝e－χ(χ－2)．
    代入方程(*)得
    e－χ(χ－2)＋4e－χ(1－χ)＋4χe－χ＝f(χ)
    (χ)＝(χ＋2)e－χ
    所求方程为y〞＋4y′＋4y＝(χ＋2)e－χ
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考研数学一

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