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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.
admin
2016-07-22
61
问题
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.
选项
答案
把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f’’(ξ)x
2
(0<ξ
1
<ξ
2
). 在公式中取[*] 把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式,得 f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+[*]f’’(ξ
2
)(x-1)
2
(x<ξ
2
<1). 在公式中取x=[*] 两式相减消去未知的函数值[*]即得f’’(ξ
1
)-f’’(ξ
2
)=8[*]|f’’(ξ
1
)|+|f’’(ξ
2
)|≥8. 从而,在ξ
1
和ξ
2
中至少有一个点,使得在该点的二阶导数绝对值不小于4,把该点取为ξ,就有ξ∈(0,1),使|f’’(ξ)|≥4.
解析
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考研数学一
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