2. 考研
  3. 判断下列各向量是否构成向量空间． (1)V1={x=(x1，x2，…，xn)|x1+2x2+…+nxn=0，xi∈R}． (2)V2={x=(x1，x2，…，xn)|x1.x2.….xn=0，xi∈R}．

判断下列各向量是否构成向量空间． (1)V1={x=(x1，x2，…，xn)|x1+2x2+…+nxn=0，xi∈R}． (2)V2={x=(x1，x2，…，xn)|x1.x2.….xn=0，xi∈R}．

admin2020-09-25  89
问题 判断下列各向量是否构成向量空间．
    (1)V1={x=(x1，x2，…，xn)|x1+2x2+…+nxn=0，xi∈R}．
    (2)V2={x=(x1，x2，…，xn)|x1.x2.….xn=0，xi∈R}．
选项
答案(1)(0，0，…，0)∈V1，所以V1非空．设α=(a，1,a2，…，an)∈V1，β=(b1，b2，…，bn)∈V1，则α+β=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)，而 (a1+b1)+2(a2+b2)+…+n(an+bn) =(a1+2a2+…+nan)+(b1+2b2+…+nbn)=0+0=0， kα=(ka1，ka2，…，kan)，k∈R，而 ka1+2ka2+…+nkan=k(a1+2a2+…+nan)=k.0=0， 所以α+β∈V1，kα∈V1，于是V1是向量空间． (2)令α=(1，0，…，0)，β=(0，1，…，1)，则α，β∈V2，而α+β=(1，1，…，1)，但1×1×…×1—1≠0，所以α+β[*]V2．所以V2不是向量空间．
解析
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考研数学三

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