判断下列各向量是否构成向量空间. (1)V1={x=(x1,x2,…,xn)|x1+2x2+…+nxn=0,xi∈R}. (2)V2={x=(x1,x2,…,xn)|x1.x2.….xn=0,xi∈R}.

admin2020-09-25  42

问题 判断下列各向量是否构成向量空间.
    (1)V1={x=(x1,x2,…,xn)|x1+2x2+…+nxn=0,xi∈R}.
    (2)V2={x=(x1,x2,…,xn)|x1.x2.….xn=0,xi∈R}.

选项

答案(1)(0,0,…,0)∈V1,所以V1非空.设α=(a,1,a2,…,an)∈V1,β=(b1,b2,…,bn)∈V1,则α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn),而 (a1+b1)+2(a2+b2)+…+n(an+bn) =(a1+2a2+…+nan)+(b1+2b2+…+nbn)=0+0=0, kα=(ka1,ka2,…,kan),k∈R,而 ka1+2ka2+…+nkan=k(a1+2a2+…+nan)=k.0=0, 所以α+β∈V1,kα∈V1,于是V1是向量空间. (2)令α=(1,0,…,0),β=(0,1,…,1),则α,β∈V2,而α+β=(1,1,…,1),但1×1×…×1—1≠0,所以α+β[*]V2.所以V2不是向量空间.

解析
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