设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．

admin2019-03-19 69

问题设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=

是否正定矩阵．

选项

答案1 设m+n维列向量 [*] 其中X、Y分别为m、n维列向量．若Z≠0，则X、Y不同时为0，不妨设X≠0，因为A正定，所以X^TAX＞0；因为B正定，故对任意n维向量Y，有Y^TBY≥0．于是，当Z≠0时，有 Z^TCZ=[X^T Y^T][*]=X^TAX+Y^TBY＞0 因此，C是正定矩阵． 2 因为A、B都是正定矩阵，故A、B的特征为值全为正．由C的特征方程 [*] =|λE_m－A||λE_n－B|=0 知C的全部特征值就是A和B的全部特征值的并集，故C的特征值全大于0，因此C为正定矩阵．解3因为A、B都是正定矩阵，故存在可逆矩阵M、N，使得A=M^TM，B=N^TN，故 [*] 其中，分块矩阵[*]可逆，故C为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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