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设A、B分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C=是否正定矩阵.
设A、B分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C=是否正定矩阵.
admin
2019-03-19
58
问题
设A、B分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C=
是否正定矩阵.
选项
答案
1 设m+n维列向量 [*] 其中X、Y分别为m、n维列向量.若Z≠0,则X、Y不同时为0,不妨设X≠0,因为A正定,所以X
T
AX>0;因为B正定,故对任意n维向量Y,有Y
T
BY≥0. 于是,当Z≠0时,有 Z
T
CZ=[X
T
Y
T
][*]=X
T
AX+Y
T
BY>0 因此,C是正定矩阵. 2 因为A、B都是正定矩阵,故A、B的特征为值全为正.由C的特征方程 [*] =|λE
m
-A||λE
n
-B|=0 知C的全部特征值就是A和B的全部特征值的并集,故C的特征值全大于0,因此C为正定矩阵. 解3因为A、B都是正定矩阵,故存在可逆矩阵M、N,使得A=M
T
M,B=N
T
N,故 [*] 其中,分块矩阵[*]可逆,故C为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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