2. 考研
  3. 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．

设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．

admin2019-03-19  68
问题 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．
选项
答案1 设m+n维列向量 [*] 其中X、Y分别为m、n维列向量．若Z≠0，则X、Y不同时为0，不妨设X≠0，因为A正定，所以XTAX＞0；因为B正定，故对任意n维向量Y，有YTBY≥0． 于是，当Z≠0时，有 ZTCZ=[XT YT][*]=XTAX+YTBY＞0 因此，C是正定矩阵． 2 因为A、B都是正定矩阵，故A、B的特征为值全为正．由C的特征方程 [*] =|λEm－A||λEn－B|=0 知C的全部特征值就是A和B的全部特征值的并集，故C的特征值全大于0，因此C为正定矩阵． 解3因为A、B都是正定矩阵，故存在可逆矩阵M、N，使得A=MTM，B=NTN，故 [*] 其中，分块矩阵[*]可逆，故C为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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