已知矩阵，试判断矩阵A和B否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P－1AP=B，若不相似则说明理由．

admin2015-05-07 42

问题已知矩阵

，试判断矩阵A和B否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P^－1AP=B，若不相似则说明理由．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得到矩阵A的特征值是λ₁=3，λ₂=λ₃=－1．由矩阵B的特征多项式 [*] 得到矩阵B的特征值也是λ₁=3，λ₂=λ₃=－1．当λ=－1时，由秩 [*] 知(－E－A)x=0有2个线性无关的解，即λ=－1时矩阵A有2个线性无关的特征向量，矩阵A可以相似对角化．而(－E－B)x=0只有1个线性无关的解，即λ=－1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量，矩阵B不能相似对角化．因此矩阵A和B不相似．

解析

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考研数学一

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设A是3阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，-1]T，ξ2=[-1，2，2]T，ξ3=[2，-1，2]T．又β=[1，2，3]T．计算；Anξ1；
设A，B，C，D为n阶矩阵，若ABCD=E，证明：A，B，C，D均为可逆矩阵；
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