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  3. 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)． 证明：方程fn(x)＝1有唯一的正根xn；

设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)． 证明：方程fn(x)＝1有唯一的正根xn；

admin2019-11-25  65
问题 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)．
证明：方程fn(x)＝1有唯一的正根xn；
选项
答案令φn(x)＝fn(x)－1，因为φn(0)＝－1＜0，φn(1)＝n－1＞0，所以φn(x)在(0，1)[*](0，＋∞)内有一个零点，即方程fn(x)＝1在(0，＋∞)内有一个根． 因为φ’n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以φn(x)在(0，＋∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为xn．
解析
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考研数学三

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