设某种商品的需求函数是Q=a-bp,其中Q是该产品的销售量,P是该产品的价格,常数a>0,b>0,且该产品的总成本函数为C=Q3-Q2+108Q+36。已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性E=时,出售该产品可获得最大利润,试确定常数a和常数b的值,并求

admin2022-03-14  46

问题 设某种商品的需求函数是Q=a-bp,其中Q是该产品的销售量,P是该产品的价格,常数a>0,b>0,且该产品的总成本函数为C=Q3Q2+108Q+36。已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性E=时,出售该产品可获得最大利润,试确定常数a和常数b的值,并求利润最大时的产量。

选项

答案设Q0是使总利润函数L=R-C取得最大值的产量,由极值的必要条件知,Q0应使得边际成本MC=MR=56,即Q0是方程Q2-17Q+108=56的根,把方程改写成Q2-17Q+52=0,解之可得Q0有两个可能的值,分别是Q1=4,或者Q2=13. 从需求函数解出P=[*](a-Q),于是R=[*](aQ-Q2),从而利润最大时有 MR=[*](a-2Q0)=56 ① 又因 [*] 于是利润最大时还有 [*] ② 从①②两式可确定常数a和b,即 [*] 从上面的计算得到了使利润最大的产量Q0和常数a,b的两组可能值,它们分别是Q1=4,a=[*],[*],而对应的价格P1=P2=82,把两组值代入总利润函数计算对应的利润,不难发现,对应于第一组的利润L=82×4-C(13)=1981/6>0,符合实际,这表明使利润最大的产量Q0=13,且常数a=54,b=[*].

解析
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