2. 考研
  3. 设某种商品的需求函数是Q=a－bp，其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数a＞0,b＞0，且该产品的总成本函数为C=Q3－Q2+108Q+36。已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性E=时，出售该产品可获得最大利润，试确定常数a和常数b的值，并求

设某种商品的需求函数是Q=a－bp，其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数a＞0,b＞0，且该产品的总成本函数为C=Q3－Q2+108Q+36。已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性E=时，出售该产品可获得最大利润，试确定常数a和常数b的值，并求

admin2022-03-14  76
问题 设某种商品的需求函数是Q=a－bp，其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数a＞0,b＞0，且该产品的总成本函数为C=Q3－Q2+108Q+36。已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性E=时，出售该产品可获得最大利润，试确定常数a和常数b的值，并求利润最大时的产量。
选项
答案设Q0是使总利润函数L=R－C取得最大值的产量，由极值的必要条件知，Q0应使得边际成本MC=MR=56,即Q0是方程Q2－17Q+108=56的根，把方程改写成Q2－17Q+52=0，解之可得Q0有两个可能的值，分别是Q1=4，或者Q2=13. 从需求函数解出P=[*](a－Q)，于是R=[*](aQ－Q2），从而利润最大时有 MR=[*](a－2Q0)=56 ① 又因 [*] 于是利润最大时还有 [*] ② 从①②两式可确定常数a和b，即 [*] 从上面的计算得到了使利润最大的产量Q0和常数a,b的两组可能值，它们分别是Q1=4，a=[*],[*],而对应的价格P1=P2=82，把两组值代入总利润函数计算对应的利润，不难发现，对应于第一组的利润L=82×4－C(13)=1981/6＞0,符合实际，这表明使利润最大的产量Q0=13，且常数a=54，b=[*].
解析
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考研数学三

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