设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导数图形如图所示,则在(一∞,+∞)内

admin2020-04-09  53

问题 设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导数图形如图所示,则在(一∞,+∞)内

选项 A、函数f(x)有三个极值点,曲线y=f(x)有两个拐点.
B、函数f(x)有四个极值点,曲线y=f(x)有一个拐点.
C、函数f(x)有三个极值点,曲线y=f(x)有一个拐点.
D、函数f(x)有四个极值点,曲线y=f(x)有两个拐点.

答案B

解析 由题设所给y=f’(x)的图形可看出,F’(x1)=f’(x2)=f’(x3)=0,f(x)在x=0处不可导,即f(x)可能有4个极值点,且曲线y=f’(x)在x轴上方时f’(x)>0,在x轴下方时f’(x)<0,可见这四个点都是极值点(x1,x2为极大值点,原点与x3为极小值点,为什么?).
仍由y=f’(x)的图形可看出,f’’(x4)=0(因x3是f’(x)的驻点),f(x)在x=0处的二阶导数不存在,即曲线y=f(x)可能有两个拐点.因为除了x=0外,y=f’(x)处处光滑,存在不垂直于x轴的切线,故可推测f(x)除x=0外具有二阶导数,因此在f’(x)的严格单调增加区间内有f’’(x)>0;在.f’(x)严格单调减少区间内有f’’(x)<0,可见(0,f(0))不是曲线y=f(x)的拐点,(x4,f(x4))是曲线y=f(x)的拐点(为什么?请读者结合y=f’(x)的图形思考,并找出曲线y=f(x)的凹凸区间).
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