设函数f(u)连续，区域D＝{(x，y)｜x2＋y2≤2y)，则等于

admin2014-01-26 23

问题设函数f(u)连续，区域D＝{(x，y)｜x²＋y²≤2y)，则

等于

选项 A、

B、

C、

f(r²sinθcosθ)dr．
D、

f(r²sinθcosθ)rdr

答案D

解析 [详解] 如图1—5—1．

在直角坐标系下将原积分化为累次积分：
先y后x的积分顺序有

，可知(A)错．
先x后y的积分顺序有

，由于f(xy)关于x不一定为偶函数，知(B)错．
在极坐标系下化为累次积分：
x²＋y²＝2y→r＝2sinθ，0≤θ≤π，

，可知(D)正确．故应选(D)．
[评注] 由极坐标系下的面积元为如dσ＝rdrdθ，知(C)错．由D的边界曲线x²＋(y－1)²＝1，可知(A)错，因(A)中的累次积分对应的区域为x²＋y²≤1．
由f(xy)为抽象函数，没有其他条件可知(B)不对，因此由排除法知，应选(D)．

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