2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A +B，下列命题： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A +B可逆； ④A—E恒可逆． 则以上命题正确的有( )个．

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A +B，下列命题： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A +B可逆； ④A—E恒可逆． 则以上命题正确的有( )个．

admin2022-04-10  53
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A +B，下列命题：
①若A可逆，则B可逆；
②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A +B可逆；
④A—E恒可逆．
则以上命题正确的有(    )个．
选项 A、l
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 【思路探索】命题①②③是借助行列式来判别，而④是利用定义来判别．
解：由于(A—E)B=AB—B=A+B—B=A，若A可逆，则B可逆，即①正确。
若A+B可逆，则| AB|=| A+B |≠0，则| B|≠0，即B可逆，②正确．
由于A(B—E)=B，| A|| B—E|=| B|，若B可逆，则| A|≠0，即A可逆，从而A+B=AB仰可逆，③正确．
对于④，由AB=A+B，可得(A—E) (B—E)=E，故A—E恒可逆．
故应选(D)．
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考研数学三

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