设A,B均为n阶矩阵,且AB=A +B,下列命题: ①若A可逆,则B可逆; ②若A+B可逆,则B可逆; ③若B可逆,则A +B可逆; ④A—E恒可逆. 则以上命题正确的有( )个.

admin2022-04-10  27

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A +B,下列命题:
①若A可逆,则B可逆;
②若A+B可逆,则B可逆;
③若B可逆,则A +B可逆;
④A—E恒可逆.
则以上命题正确的有(    )个.

选项 A、l
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 【思路探索】命题①②③是借助行列式来判别,而④是利用定义来判别.
解:由于(A—E)B=AB—B=A+B—B=A,若A可逆,则B可逆,即①正确。
若A+B可逆,则| AB|=| A+B |≠0,则| B|≠0,即B可逆,②正确.
由于A(B—E)=B,| A|| B—E|=| B|,若B可逆,则| A|≠0,即A可逆,从而A+B=AB仰可逆,③正确.
对于④,由AB=A+B,可得(A—E) (B—E)=E,故A—E恒可逆.
故应选(D).
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