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设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=[2,-1,a+2,1]T, α2=[-1,2,4,a+8]T. 当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出
设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=[2,-1,a+2,1]T, α2=[-1,2,4,a+8]T. 当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出
admin
2019-08-06
66
问题
设四元齐次线性方程组(I)为
且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α
1
=[2,-1,a+2,1]
T
, α
2
=[-1,2,4,a+8]
T
.
当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.
选项
答案
解一 将方程组(Ⅱ)的通解c
1
α
1
+c
2
α
2
代入方程组(I),为使c
1
α
1
+c
2
α
2
也是方程组(I)的解(从而是方程组(I)和方程组(Ⅱ)的公共解),c
1
,c
2
应满足的条件为 -(a+1)c
1
=0, (a+1)(c
1
-c
2
)=0. 于是当a+1≠0时,必有c
1
与c
2
为零,此时没有非零公共解. 当a+1=0即a=-1时,c
1
,c
2
为任何不全为零的实数,c
1
α
1
+c
2
α
2
都是非零公共解,从而方程组(I)和方程组(Ⅱ)有非零公共解,它们是 c
1
α
1
+c
2
α
2
=c
1
[2,-1,1,1]
T
+c
2
[-1,2,4,7]
T
, c
1
,c
2
不全为零. 解二 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η,则有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=k
3
α
1
+k
4
α
2
. ① 由此得方程组 [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换,得到 [*] 由此可知,当a≠-1时,秩(A)=4,方程组(Ⅲ)仅有零解,方程组(I)和方程组(Ⅱ)没有非零公共解. 当a=一1时,秩(A)=2<4,方程组(Ⅲ)有非零解,且其一个基础解系为 [k
1
,k
2
,k
3
,k
4
]
T
=c
1
[2,-1,1,0]
T
+c
2
[-1,2,0,1]
T
=[2c
1
-c
2
,2c
2
-c
1
,c
1
,c
2
]
T
, 故k
1
=2c
1
-c
2
,k
2
=2c
2
-c
1
,k
3
=c
1
,k
4
=c
2
(c
1
,c
2
不全为零).将其代入式①得到方程组(I) 和方程组(Ⅱ)的非零公共解为 η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=k
3
α
1
+k
4
α
2
=[2c
1
-c
2
,2c
2
-c
1
,c
1
+4c
2
,c
1
+7c
2
]
T
(c
1
,c
2
不全为零).
解析
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考研数学三
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