设A是3阶正交矩阵，按定义ATA

admin2020-03-10 82

问题设A是3阶正交矩阵，按定义A^TA

选项

答案用矩阵乘法，易见 [*] a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=a₁a₁+b₁b₁+c₁c₃=a₂a₃+b₂b₃+c₂c₃=0．这说明矩阵A的每个列向量都是单位向量且互相正交(在求正交矩阵的问题中，读者应该用这两条性质进行验算)．类似地，AA^T=E，可知A的行向量都是单位向量且互相正交．显然 [*] 都不是正交矩阵，但这也正是一些考生在特征值、二次型问题中，求正交矩阵时常犯的典型错误．前一个矩阵是忘了单位化，后一个矩阵是对特征值有重根的特征向量没有Schmidt正交化，而中间一个是求错了特征向量，往届考生的这种种错误，要引以为戒．

解析

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