设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ).

admin2019-03-12  24

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ).

选项

答案令F(x)=xe1-xf(x),则F(1)=f(1)由积分中值定理得[*]由原式[*]从而F(x)在[c,1]上满足罗尔定理条件,则存在ξ∈(c,1)使F’(ξ)=0. 即ξe1-ξ[f’(ξ)一(1一ξ-1)f(ξ)]=0而 ξe1-ξ≠0,故f’(ξ)一(1一ξ-1)f(ξ)=0即 f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ).

解析
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