设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．

admin2019-03-12 42

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足

证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ^-1)f(ξ)．

选项

答案令F(x)=xe^1-xf(x)，则F(1)=f(1)由积分中值定理得[*]由原式[*]从而F(x)在[c，1]上满足罗尔定理条件，则存在ξ∈(c，1)使F’(ξ)=0．即ξe^1-ξ[f’(ξ)一(1一ξ^-1)f(ξ)]=0而 ξe^1-ξ≠0，故f’(ξ)一(1一ξ^-1)f(ξ)=0即 f’(ξ)=(1一ξ^-1)f(ξ)．

解析

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考研数学三

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