2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a1，a2，a3)，Q= (a1+a2，a2，a3)，则Q-1AQ=【 】

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a1，a2，a3)，Q= (a1+a2，a2，a3)，则Q-1AQ=【 】

admin2019-03-11  49
问题 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a1，a2，a3)，Q= (a1+a2，a2，a3)，则Q-1AQ=【    】
   
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 解1
    其中，矩阵，易求出于是，Q-1AQ=(PM)-1A(PM)=M-1(P-1AP)M
   
因此选(B)．
　　解2  已知A(a1，a2，a3)=(a1，a2，a3)<=>(Aa1，Aa2，Aa3)=(a1，a2，2a3)<=>Aa1=a1，Aa2=a2，Aa3=2a3=>A(a1+a2)=Aa1+Aa2=a1+a2=>AQ=A(a1+a2，a2，a3)=(A(a1+a2)，Aa2，Aa3)=(a1+a2，a2，2a3)=(a1+a2，a2，a3)两端左乘Q-1，得Q-1，故选(B)．
　　解3  由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知a1，a2，a3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．a1+a2≠0(否则a1，a2线性相关，与a1，a2，a3线性无关矛盾)，且A(a1+a2)一Aa1+Aa2=a1+a2，因此a1+a2是A的属于特征值1的一个特征向量．
    从而知a1+a2，a2，a3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出    (a1+a2，a2，a3)-1A(a1+a2，a2，a3)=diag(1，1，2)，即Q-1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．
本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用．解1中矩阵M是一个第3类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式．
    本题中，矩阵Q的可逆性可以根据Q的3个列向量线性无关而知道，也可以由Q=(a1，a1， a1)是两个可逆矩阵的乘积而知Q可逆．
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考研数学三

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