设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使=0．

admin2018-05-23 62

问题设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g^’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使

=0．

选项

答案令φ(x)=f(x)∫_x^bg(t)dt+g(x)∫_a^xf(t)dt，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ^’(x)=[f^’(x)∫_x^bg(t)dt—f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g^’(x)∫_a^xf(t)dt] =f^’(x)∫_x^bg(t)dt+g^’(x)∫_a^xf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ^’(ξ)=0，即 f^’(ξ)∫_ξ^bg(t)dt+g^’(ξ)∫_a^ξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g^’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫_x^bg(t)dt＞0，于是有[*]=0．

解析

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考研数学一

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