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(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似. (Ⅱ)设, 求可逆矩阵P,使得P﹣1AP=B.
(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似. (Ⅱ)设, 求可逆矩阵P,使得P﹣1AP=B.
admin
2021-12-09
88
问题
(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似.
(Ⅱ)设
,
求可逆矩阵P,使得P
﹣1
AP=B.
选项
答案
(Ⅰ)设A,B的特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A,B可相似对角化,所以存在可逆矩阵P
1
,P
1
, 使得[*] 于是P
1
﹣1
AP
1
=P
2
﹣1
BP
2
,或(P
1
P
2
﹣1
)
﹣1
A(P
1
P
2
﹣1
)=B,令P=P
1
P
2
﹣1
,则P
﹣1
AP=B,即矩阵A,B相似. (Ⅱ)由|λE-A|=[*]=(λ+1)(λ-1)
2
=0得λ
1
=﹣1,λ
2
=λ
3
=l;由|λE-B|=[*]=(λ+1)(λ-1)
2
=0得λ
1
=﹣1,λ
2
=λ
3
=1.由E+A=[*]得A的属于λ
1
=﹣1的线性无关特征向量为[*]由E-A=[*]得A的属于特征值λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为[*]令P
1
=[*],则P
1
﹣1
AP
1
=[*]由E+B=[*]得B的属于λ
1
=﹣1的线性无关特征向量为[*]由E-B=[*]得B的属于特征值λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为[*]令P
2
=[*],则P
2
﹣1
BP
2
=[*]故P=P
1
P
2
﹣1
=[*],使得P
﹣1
AP=B.
解析
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考研数学三
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