(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P﹣1AP＝B．

admin2021-12-09 120

问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设

，
求可逆矩阵P，使得P^﹣1AP＝B．

选项

答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₁，使得[*] 于是P₁^﹣1AP₁＝P₂^﹣1BP₂，或(P₁P₂^﹣1)^﹣1A(P₁P₂^﹣1)＝B，令P＝P₁P₂^﹣1，则P^﹣1AP＝B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ+1)(λ－1)²＝0得λ₁＝﹣1，λ₂＝λ₃＝l；由｜λE－B｜＝[*]＝(λ+1)(λ－1)²＝0得λ₁＝﹣1，λ₂＝λ₃＝1．由E+A＝[*]得A的属于λ₁＝﹣1的线性无关特征向量为[*]由E－A＝[*]得A的属于特征值λ₂＝λ₃＝1的线性无关的特征向量为[*]令P₁＝[*]，则P₁^﹣1 AP₁＝[*]由E＋B＝[*]得B的属于λ₁＝﹣1的线性无关特征向量为[*]由E－B＝[*]得B的属于特征值λ₂＝λ₃＝1的线性无关的特征向量为[*]令P₂＝[*]，则P₂^﹣1BP₂＝[*]故P＝P₁P₂^﹣1＝[*]，使得P^﹣1AP＝B．

解析

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考研数学三

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