2. 考研
  3. (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设， 求可逆矩阵P，使得P﹣1AP＝B．

(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设， 求可逆矩阵P，使得P﹣1AP＝B．

admin2021-12-09  77
问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设，
求可逆矩阵P，使得P﹣1AP＝B．
选项
答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ1，λ2，…，λn，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P1， 使得[*] 于是P1﹣1AP1＝P2﹣1BP2，或(P1P2﹣1)﹣1A(P1P2﹣1)＝B，令P＝P1P2﹣1，则P﹣1AP＝B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ+1)(λ－1)2＝0得λ1＝﹣1，λ2＝λ3＝l；由｜λE－B｜＝[*]＝(λ+1)(λ－1)2＝0得λ1＝﹣1，λ2＝λ3＝1．由E+A＝[*]得A的属于λ1＝﹣1的线性无关特征向量为[*]由E－A＝[*]得A的属于特征值λ2＝λ3＝1的线性无关的特征向量为[*]令P1＝[*]，则P1﹣1 AP1＝[*]由E＋B＝[*]得B的属于λ1＝﹣1的线性无关特征向量为[*]由E－B＝[*]得B的属于特征值λ2＝λ3＝1的线性无关的特征向量为[*]令P2＝[*]，则P2﹣1BP2＝[*]故P＝P1P2﹣1＝[*]，使得P﹣1AP＝B．
解析
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考研数学三

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