设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ).

admin2019-07-12  49

问题 设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是(    ).

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、若矩阵B满足BA=O,则B=O
D、A通过初等行变换,必可化为[Em,O]的形式

答案C

解析 解一  由BA=O知,秩(A)+秩(B)≤m.又秩(A)=m,故秩(B)≤0.又秩(B)≥0,所以秩(B)=0,即B=O.仅(C)入选.
    解二  由BA=O知,A的每列向量均为BX=0的解向量.又由题设知,A的列向量组中有m个线性无关,故BX=0的解集合中至少含有m个线性无关的解向量.因而BX=0的基础解系中的含解向量的个数m一秩(B)≥m,故秩(B)≤0.又对于任意矩阵均有秩(B)≥0,故秩(B)=0,所以B=O.仅(C)入选.
    解三  由BA=O有ATBT=O,则BT的每列均为ATX=0的解向量,而AT列满秩,故ATX=0只有零解.因而BT的每列即B的每行都等于零,于是B=O.仅(C)入选.
    解四  选项(A)和(B)中的“任意”改为“存在”,结论才正确.选项(D)中“通过初等行变换”改为“通过初等行变换和列变换”才正确,因而排除(A)、(B)、(D).仅(C)入选.
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