设α1,α2,α3,α4,β为4维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),若Ax=β的通解为 (-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T. (Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大无关组.

admin2017-10-25  45

问题 设α1,α2,α3,α4,β为4维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),若Ax=β的通解为
    (-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T
(Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示?为什么?
(Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大无关组.

选项

答案(Ⅰ)先求Bx=0的基础解系,为此,首先要找出矩阵B的秩. 由题目的已知信息可得:Ax=0的基础解系中含有两个向量,故4-R(A)=2,也即R(A)=2,而由(1,0,2,1)T 是Ax=0的解可得α1+2α34=0,故α4=-α1-2α3.可知α4能由α1,α2,α3线性表示,故R(α1,α2,α3,α4)=R(α1,α2,α3)=R(B),也即R(B)=2.因此Bx=0的基础解系中仅含一个向量,求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系. 由于(1,0,2,1)T,(2,1,1,-1)T均为Ax=0的解,故它们的和(3,1,3,0)T也为Ax=0的解,可知3α12+3α3=0,因此(3,1,3)T为Bx=0的解,也即(3,1,3)T为Bx=0的基础解系. 最后,再求Bx=b的任何一个特解即可.只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可,为此,令(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T中k1=0,k2=1,得(3,2,2,0)T是Ax=b的一个解,故(3,2,2)T是Bx=b和一个解. 可知Bx=b的通解为(3,2,2)T+k(3,1,3)T,k∈R (Ⅱ)与(Ⅰ)类似,先求Cx=0的基础解系. 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵,故R(C)=R(A)=2,可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量,为此,需要找出Cx=0的三个线性无关的解. 由于(1,0,2,1)T,(2,1,1,-1)T均为Ax=0的解,可知(1,0,2,1,0)T,(2,1,1-1,0)T均为Cx=0的解.而(1,1,1,1)T为Ax=b的解,可知α1234=b,也即α1234-b=0,故(1,1,1,1,-1)T也为Cx=0的解. 这样,我们就找到了Cx=0的三个解:(1,0,2,1,0)T,(2,1,1,-1,0)T,(1,1,1,1,-1)T,容易验证它们是线性无关的,故它们即为Cx=0的基础解系. 最后,易知(0,0,0,0,1)T为Cx=b的解,故Cx=b的通解为 (0,0,0,0,1)T+k1(1,0,2,1,0)T+k2(2,1,1,-1,0)T+k3(1,1,1,1,-1)T,kI∈R,i=1,2,3.

解析
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