2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为 (-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T． (Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．

设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为 (-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T． (Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．

admin2017-10-25  100
问题 设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为
    (-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T．
(Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么?
(Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．
选项
答案(Ⅰ)先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩． 由题目的已知信息可得：Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4-R(A)=2，也即R(A)=2，而由(1，0，2，1)T 是Ax=0的解可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1-2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故R(α1，α2，α3，α4)=R(α1，α2，α3)=R(B)，也即R(B)=2．因此Bx=0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T为Bx=0的解，也即(3，1，3)T为Bx=0的基础解系． 最后，再求Bx=b的任何一个特解即可．只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可，为此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一个解，故(3，2，2)T是Bx=b和一个解． 可知Bx=b的通解为(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R (Ⅱ)与(Ⅰ)类似，先求Cx=0的基础解系． 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故R(C)=R(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx=0的三个线性无关的解． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1-1，0)T均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)T为Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4=b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也为Cx=0的解． 这样，我们就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx=0的基础解系． 最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cx=b的解，故Cx=b的通解为 (0，0，0，0，1)T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T，kI∈R，i=1，2，3．
解析
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