首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.
admin
2017-07-26
47
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得
ξf(ξ)=∫
ξ
1
f(x)dx.
选项
答案
令F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=1.∫
1
1
f(t)dt=0.由洛尔定理,存在ξ∈(0,1),使F’(ξ)=0,即∫
1
ξ
(t)dt+ξf(ξ)=0,故ξf(ξ)—∫
ξ
1
f(x)dx=0.
解析
欲证ξf(ξ)=∫
ξ
1
f(x)dx→xf(x)=∫
x
1
f(t)dt,
如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,则
F(0)=0f(0)一∫
0
1
f(t)出≤0, F(1)=1.f(1)一∫
1
1
f(t)dt=f(1)≥0,
难以验证F(x)在[0,1]上有F(0)<0,F(1)>0.于是,可作辅助函数F(x),使得
F’(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,
即 F’(x)=[x∫
1
x
f(t)dt]’,
即 F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,
再用洛尔定理证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vuH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
3
设一下命题:①若(u2n-1+u2n)收敛,则un收敛.②若un收敛,则un+1000收敛.③若un+1/un>1,则un发散.④若(un+vn)收敛,则un,vn都收敛.则以上命题中正确的是
齐次方程组的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0,则
设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0,则必有
设A是n阶反对称矩阵,证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为____________.
设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,问:(Ⅰ)a1能否由a2,a3,线性表出?证明你的结论.(Ⅱ)a4能否由a1,a2,a3铴线性表出?证明你的结论.
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是().
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明:|∫02f(x)dx|≤2.
设函数f(x)在[一2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f(0)+[f2(0)]2=4.试证:在(一2,2)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)+f"(ξ)=0.
随机试题
一般来说,背景吸收是使吸光度增加而产生正误差。()
下列病变不是T1及T2加权像均呈高信号的是
A、刺痛拒按,固定不移,舌暗,脉涩B、气短疲乏,脘腹坠胀,舌淡,脉弱C、胸胁胀闷窜痛,时轻时童,脉弦D、面色淡白,口唇爪甲色淡,舌淡,脉细E、少气懒言,疲乏无力,自汗,舌淡,脉虚血瘀证可见的症状是
《公司法》对公司的出资形式的限额做出限制的是( )。
消火栓的间距应小于或等于()。
常用的确定设备最佳更新期的方法有低劣化数值法和()。
为了预防病毒,在计算机中安装了操作系统补丁(windowsupdate)的防病毒软件,也按时升级了病毒定义文件,仍旧被种了木马程序(即被感染病毒),最不可能的原因是()。
以可见光波的长短为序,人类感觉到的颜色依次为()。
汉代选拔和任用官吏的方法有()
在计算机指令中,规定其所执行操作功能的部分称为()。
最新回复
(
0
)