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设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx.
admin
2017-07-26
23
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得
ξf(ξ)=∫
ξ
1
f(x)dx.
选项
答案
令F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=1.∫
1
1
f(t)dt=0.由洛尔定理,存在ξ∈(0,1),使F’(ξ)=0,即∫
1
ξ
(t)dt+ξf(ξ)=0,故ξf(ξ)—∫
ξ
1
f(x)dx=0.
解析
欲证ξf(ξ)=∫
ξ
1
f(x)dx→xf(x)=∫
x
1
f(t)dt,
如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,则
F(0)=0f(0)一∫
0
1
f(t)出≤0, F(1)=1.f(1)一∫
1
1
f(t)dt=f(1)≥0,
难以验证F(x)在[0,1]上有F(0)<0,F(1)>0.于是,可作辅助函数F(x),使得
F’(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,
即 F’(x)=[x∫
1
x
f(t)dt]’,
即 F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,
再用洛尔定理证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vuH4777K
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考研数学三
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