2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得 ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．

admin2017-07-26  57
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得
    ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．
选项
答案令F(x)=x∫1xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1．∫11f(t)dt=0．由洛尔定理，存在ξ∈(0，1)，使F’(ξ)=0，即∫1ξ(t)dt+ξf(ξ)=0，故ξf(ξ)—∫ξ1f(x)dx=0．
解析 欲证ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx→xf(x)=∫x1f(t)dt，
  如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，则
    F(0)=0f(0)一∫01f(t)出≤0，  F(1)=1．f(1)一∫11f(t)dt=f(1)≥0，
难以验证F(x)在[0，1]上有F(0)＜0，F(1)＞0．于是，可作辅助函数F(x)，使得
    F’(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，
  即    F’(x)=[x∫1xf(t)dt]’，
  即    F(x)=x∫1xf(t)dt，
再用洛尔定理证明．
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考研数学三

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