首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设向量组α1,…,αr线性无关,又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2
设向量组α1,…,αr线性无关,又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2
admin
2018-07-31
47
问题
设向量组α
1
,…,α
r
线性无关,又
β
1
=a
11
α
1
+a
21
α
2
+…+a
r1
α
r
β
2
=a
12
α
1
+a
22
α
2
+…+a
r2
α
r
……
β
r
=a
1r
α
1
+a
2r
α
2
+…+a
rr
α
r
记矩阵A=(a
ij
)
r×r
,证明:β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关的充分必要条件是A的行列式|A|≠0.
选项
答案
不妨设α
j
及β
j
均为n维列向量(j=1,2,…,r),则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β
1
β
2
… β
r
]=[α
1
α
2
… α
r
]A 或 B=PA,…(*) 其中B=[β
1
β
2
… β
r
]及P=[α
1
α
2
… α
r
]均为n×r矩阵,且矩阵P的列向量组线性无关.于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解;若X满足Ax=0,两端左乘P并利用PA=B,得Bx=0;若x满足Bx=0,即PAx=0,或P(Ax)=0,因P的列向量组线性无关,得Ax=0,所以,Ax=0与Bx=0同解,→它们的基础解系所含向量个数相等,即r—r(A)=r—r(B),→r(A)=r(B).所以,向量组β
1
,…,β
r
线性无关→r[β
1
β
2
… β
r
]=r→r(A)=r→|A|≠0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w5g4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设N阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n一1个列向量线性相关,后n一1个列向量线性无关,且α1+α2+…+(n—1)αn—1=0,b=α1+α2+…+αn.(1)证明方程组AX=b有无穷多个解;(2)求方程组AX=b的通解.
设α1=.(1)a,b为何值时,B不能表示为α1,α2,α3,α4的线性组合?(2)a,b为何值时,B可唯一表示为α1,α2,α3,α4的线性组合?
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx.
设齐次线性方程组为正定矩阵,求a,并求当|X|I=时XTAX的最大值.
设A,B为n阶正定矩阵.证明:A+B为正定矩阵.
设A=,求a,b及正交矩阵P,使得PTAP=B.
设A=(aij)n×n是非零矩阵,且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等.证明:|A|≠0.
设矩阵A=为A*对应的特征向量.(1)求a,b及α对应的A*的特征值,(2)判断A可否对角化.
设A是n阶方阵,A+E可逆,且f(A)=(E—A)(E+A)-1.证明:(1)[E+f(A)](E+A)=2E;(2)f[f(A)]=A.
随机试题
集体合同的时间效力的表现形式有()
下列关于NHL的病理类型中,哪些属于中度恶性?
(2007年第75题)下列属于退行性变的疾病是
下列行为中,属于无效民事行为的有()。
人们常说“教学有法,教无定法”,此话反映了教师劳动的()。(2014·河南)
Wherearetheynow?
Electronicmailhasbecomeanextremelyimportantandpopularmeansofcommunication.Theconvenienceandefficiencyofelec
JudgingbythewildlycheeringaudienceattheorgyofconsumerismthatwasOprahWinfrey’s"UltimateFavouriteThings"show,A
A、Theykeepallthepropertyoftheorganization.B、Theyareresponsibleformostofthebusinessdebts.C、Theytakemorerespon
Postgraduatedilemmas[A]Decidingwhetherornottobecomeapostgraduatecanbeadaunting(令人畏缩的)prospect.Evenifyouaresure
最新回复
(
0
)