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设向量组α1,…,αr线性无关,又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2
设向量组α1,…,αr线性无关,又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2
admin
2018-07-31
42
问题
设向量组α
1
,…,α
r
线性无关,又
β
1
=a
11
α
1
+a
21
α
2
+…+a
r1
α
r
β
2
=a
12
α
1
+a
22
α
2
+…+a
r2
α
r
……
β
r
=a
1r
α
1
+a
2r
α
2
+…+a
rr
α
r
记矩阵A=(a
ij
)
r×r
,证明:β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关的充分必要条件是A的行列式|A|≠0.
选项
答案
不妨设α
j
及β
j
均为n维列向量(j=1,2,…,r),则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β
1
β
2
… β
r
]=[α
1
α
2
… α
r
]A 或 B=PA,…(*) 其中B=[β
1
β
2
… β
r
]及P=[α
1
α
2
… α
r
]均为n×r矩阵,且矩阵P的列向量组线性无关.于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解;若X满足Ax=0,两端左乘P并利用PA=B,得Bx=0;若x满足Bx=0,即PAx=0,或P(Ax)=0,因P的列向量组线性无关,得Ax=0,所以,Ax=0与Bx=0同解,→它们的基础解系所含向量个数相等,即r—r(A)=r—r(B),→r(A)=r(B).所以,向量组β
1
,…,β
r
线性无关→r[β
1
β
2
… β
r
]=r→r(A)=r→|A|≠0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w5g4777K
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考研数学一
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