2. 考研
  3. 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有( )．

设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有( )．

admin2020-03-24  28
问题 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有(    )．
选项 A、(Ⅱ)的解必是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ的解不是(I)的解
答案A
解析 解一  设α为方程组(I)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0，即α也是方程组(Ⅱ)的解．于是得到方程组(I)的解必为方程组(Ⅱ)的解．
    反之，设β为方程组(Ⅱ)的任一解．下证它是方程组(I)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即
    (Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATAβ)=0．
    设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则
    (Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0  (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
    或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则
    (Aβ)T(Aβ)=[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b1+>0．
这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是方程组(Ⅱ)的解也必为方程组(I)的解．因而方程组(I)和(Ⅱ)同解．仅(A)入选．
    解二  由解一知，AX=0的解必是ATAX=0的解．下面从向量内积的角度说明ATAX=0的解也是AX=0的解．为此在ATAx=0两边左乘XⅡ得到XTATAX=(AX)TAX=0，即AX与自身作内积等于零，则此向量AN的长度为零，即||AX||2=0．因此该向量必为零向量，于是必有AX=0，即X也满足方程组AX=0．这说明方程组(I)和(Ⅱ)是同解的．仅(A)入选．
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考研数学三

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