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设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(I):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0,必有( ).
设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(I):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0,必有( ).
admin
2020-03-24
75
问题
设A为n阶实矩阵,A
T
是A的转置矩阵,则对于线性方程组(I):AX=0和(Ⅱ):A
T
AX=0,必有( ).
选项
A、(Ⅱ)的解必是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解
D、(I)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ的解不是(I)的解
答案
A
解析
解一 设α为方程组(I)的任一解,则Aα=0,于是有A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0,即α也是方程组(Ⅱ)的解.于是得到方程组(I)的解必为方程组(Ⅱ)的解.
反之,设β为方程组(Ⅱ)的任一解.下证它是方程组(I)的解.由A
T
Aβ=0得到β
T
(A
T
Aβ)=0,即
(Aβ)
T
(Aβ)=(β
T
A
T
)(Aβ)=β
T
(A
T
Aβ)=0.
设Aβ=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
,则
(Aβ)
T
(Aβ)=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=0
b
i
=0 (i=1,2,…,n),
即Aβ=0,亦即β为AX=0的解向量.
或用反证法证之.若Aβ=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,不妨设b
1
≠0,则
(Aβ)
T
(Aβ)=[b
1
,b
2
,…,b
n
][b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
=b
1
+
>0.
这与(Aβ)
T
(Aβ)=0矛盾.因而Aβ=0,于是方程组(Ⅱ)的解也必为方程组(I)的解.因而方程组(I)和(Ⅱ)同解.仅(A)入选.
解二 由解一知,AX=0的解必是A
T
AX=0的解.下面从向量内积的角度说明A
T
AX=0的解也是AX=0的解.为此在A
T
Ax=0两边左乘XⅡ得到X
T
A
T
AX=(AX)
T
AX=0,即AX与自身作内积等于零,则此向量AN的长度为零,即||AX||
2
=0.因此该向量必为零向量,于是必有AX=0,即X也满足方程组AX=0.这说明方程组(I)和(Ⅱ)是同解的.仅(A)入选.
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考研数学三
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