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设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有( )．
设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有( )．
admin
2020-03-24
75
问题
设A为n阶实矩阵，A
T
是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：A
T
AX=0，必有( )．
选项
A、(Ⅱ)的解必是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ的解不是(I)的解
答案
A
解析
解一 设α为方程组(I)的任一解，则Aα=0，于是有A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0，即α也是方程组(Ⅱ)的解．于是得到方程组(I)的解必为方程组(Ⅱ)的解．
反之，设β为方程组(Ⅱ)的任一解．下证它是方程组(I)的解．由A
T
Aβ=0得到β
T
(A
T
Aβ)=0，即
(Aβ)
T
(Aβ)=(β
T
A
T
)(Aβ)=β
T
(A
T
Aβ)=0．
设Aβ=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
，则
(Aβ)
T
(Aβ)=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=0
b
i
=0 (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
≠0，不妨设b
1
≠0，则
(Aβ)
T
(Aβ)=[b
1
，b
2
，…，b
n
][b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
=b
1
+
>0．
这与(Aβ)
T
(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是方程组(Ⅱ)的解也必为方程组(I)的解．因而方程组(I)和(Ⅱ)同解．仅(A)入选．
解二 由解一知，AX=0的解必是A
T
AX=0的解．下面从向量内积的角度说明A
T
AX=0的解也是AX=0的解．为此在A
T
Ax=0两边左乘XⅡ得到X
T
A
T
AX=(AX)
T
AX=0，即AX与自身作内积等于零，则此向量AN的长度为零，即||AX||
2
=0．因此该向量必为零向量，于是必有AX=0，即X也满足方程组AX=0．这说明方程组(I)和(Ⅱ)是同解的．仅(A)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w7D4777K
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考研数学三
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