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设f(x)在[一2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数绝对收敛.
设f(x)在[一2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数绝对收敛.
admin
2017-05-10
54
问题
设f(x)在[一2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫
-x
x
f(x+t)dt,证明级数
绝对收敛.
选项
答案
由于f(x)在[一2,2]上有连续的导数,则|f’(x)|在[一2,2]上连续,设M为|f’(x)|在[一2,2]上的最大值,则x∈[一1,1]时, F(x)=∫
-x
x
(x+t)dt=∫
0
2x
f(u)du=∫
0
2x
f(u)d(u一2x) =f(u)(u一2x)|
0
2x
—∫
0
2x
f’(u)(u一2x)du=一∫
0
2x
f’(u)(u一2x)du,由此可得 |F(x)|≤M∫
0
2x
(2x一u)du=2Mx
2
,x∈[一1,1]. 因此[*]收敛,由比较判别法可得[*]收敛,即[*]绝对收敛.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wDH4777K
0
考研数学三
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