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  3. 求微分方程2y"+y’－Y＝(4—6x)e－x满足条件y(0)＝0，y’ (0)＝0的特解y＝y(x)，并求y＝y(x)的单调区间与极值．

求微分方程2y"+y’－Y＝(4—6x)e－x满足条件y(0)＝0，y’ (0)＝0的特解y＝y(x)，并求y＝y(x)的单调区间与极值．

admin2020-10-30  65
问题 求微分方程2y"+y’－Y＝(4—6x)e－x满足条件y(0)＝0，y’ (0)＝0的特解y＝y(x)，并求y＝y(x)的单调区间与极值．
选项
答案(1)求齐次线性微分方程2y"＋y’－y＝0的通解． 齐次微分方程2y"＋y’－y＝0的特征方程为2r2＋r－1＝0,特征根为r1＝－1，r2＝[*]，故齐次线性微分方程的通解为Y＝C1e－x＋[*] (2)求非齐次线性微分方程2y"＋y’－y＝(4－6x)e－x*＝x(Ax＋B)e－x，则 (y*)’＝(2Ax＋B)e－x－(Ax2＋Bx)e－x，(y*)"＝2Ae－x－2(2Ax＋B)e－x＋(Ax2＋Bx)e－x，将它们代入方程2y"＋y’－y＝(4－6x)e－x，得－6Ax＋(4A－3B)＝－6x＋4，比较等式两边x同次幂的系数，得[*] 所以y*＝x2e－x． (3)非齐次线性微分方程2y"＋y’－y＝(4－6x)e－x。的通解为y＝Y＋y*＝C1e－x＋[*]＋x2e－x． (4)求微分方程2y"＋y’－y＝(4－6x)e－x满足条件y(0)＝0，y’(0)＝0的特解． y’＝－C1e－x＋[*]＋2xe－x－x2e－x，由y(0)＝0，y’(0)＝0，得 [*]故y＝x2e－x． (Ⅱ)求y＝x2e－x的单调区间与极值． y’＝x(2－x)e－x，令y’＝0，得驻点x1＝0，x2＝2，列表如下： [*] 故y＝x2e－x的单调增区间为[0，2]，单调减区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，极小值为y(0)＝0，极大值为y(2)＝4e－2．
解析
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考研数学三

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