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求微分方程2y"+y’-Y=(4—6x)e-x满足条件y(0)=0,y’ (0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
求微分方程2y"+y’-Y=(4—6x)e-x满足条件y(0)=0,y’ (0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
admin
2020-10-30
132
问题
求微分方程2y"+y’-Y=(4—6x)e
-x
满足条件y(0)=0,y’ (0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
选项
答案
(1)求齐次线性微分方程2y"+y’-y=0的通解. 齐次微分方程2y"+y’-y=0的特征方程为2r
2
+r-1=0,特征根为r
1
=-1,r
2
=[*],故齐次线性微分方程的通解为Y=C
1
e
-x
+[*] (2)求非齐次线性微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
*=x(Ax+B)e
-x
,则 (y
*
)’=(2Ax+B)e
-x
-(Ax
2
+Bx)e
-x
,(y
*
)"=2Ae
-x
-2(2Ax+B)e
-x
+(Ax
2
+Bx)e
-x
,将它们代入方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
,得-6Ax+(4A-3B)=-6x+4,比较等式两边x同次幂的系数,得[*] 所以y
*
=x
2
e
-x
. (3)非齐次线性微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
。的通解为y=Y+y
*
=C
1
e
-x
+[*]+x
2
e
-x
. (4)求微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解. y’=-C
1
e
-x
+[*]+2xe
-x
-x
2
e
-x
,由y(0)=0,y’(0)=0,得 [*]故y=x
2
e
-x
. (Ⅱ)求y=x
2
e
-x
的单调区间与极值. y’=x(2-x)e-x
,令y’=0,得驻点x
1
=0,x
2
=2,列表如下: [*] 故y=x
2
e
-x
的单调增区间为[0,2],单调减区间为(-∞,0],[2,+∞),极小值为y(0)=0,极大值为y(2)=4e
-2
.
解析
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