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(14年)设函数f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且f(χ)单调增加,0≤g(χ)≤1.证明: (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ-a),χ∈[a,b] (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ.
(14年)设函数f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且f(χ)单调增加,0≤g(χ)≤1.证明: (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ-a),χ∈[a,b] (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ.
admin
2019-03-19
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问题
(14年)设函数f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且f(χ)单调增加,0≤g(χ)≤1.证明:
(Ⅰ)0≤∫
a
χ
g(t)dt≤(χ-a),χ∈[a,b]
(Ⅱ)
f(χ)dχ≤∫
a
b
f(χ)g(χ)dχ.
选项
答案
(Ⅰ)由0≤g(χ)≤1得 0≤∫
0
χ
g(t)dt≤∫
0
χ
1dt(χ-a) χ∈[a,b] (Ⅱ)令F(u)=∫f(χ)g(χ)dχ-[*]f(χ)dχ 只要证明F(b)≥0,显然F(a)=0,只要证明F(u)单调增,又 F′(u)=f(u)g(u)-f(a+∫
a
u
g(t)dt)g(u) =g(u)[f(u)-f(a+∫
a
u
g(t)dt)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫
a
χ
g(t)dt≤(χ-a)知,a≤a+∫
a
χ
g(t)dt≤χ,即 a≤a+∫
a
u
g(t)dt≤u 又f(χ)单调增加,则f(u)≥f(a+∫
a
u
g(t)dt),因此,F′(u)≥0,F(b)≥0. 故[*]f(χ)dχ≤∫
a
b
(χ)g(χ)dχ.
解析
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考研数学三
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