2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f″(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明： f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f″(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明： f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．

admin2019-09-27  46
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f″(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：
f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．
选项
答案令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，显然x0∈[a，b]． 因为f″(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x－x0)， 分别取x=xi(i=1，2，…，n)，得 [*] 由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)，得 [*] 将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．
解析
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考研数学一

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