已知αi=(ai1,ai2,aim)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关. 已知β=(b1,b2,…,bm)T是线性方程组的非零解向量. 试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.

admin2017-06-26  25

问题 已知αi=(ai1,ai2,aim)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.
    已知β=(b1,b2,…,bm)T是线性方程组的非零解向量.
    试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.

选项

答案由题设条件有βTαi=0(i=1,2,…,r).设 k1α1+…+krαr+kr+1β=0 (*) 两端左乘βT,得kr+1βTβ=0,又β≠0,[*]βTβ=‖β‖2>0,故kr+1=0 代入(*)式,得k1α1+…+krαr=0,又α1,…,αr线性无关,所以有k1=…=kr,=0,因此α1,…,αr,β线性无关.

解析
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