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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：CTC=E一BAT一ABT+BBT的充要条件是ATA=1
设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：CTC=E一BAT一ABT+BBT的充要条件是ATA=1
admin
2018-09-20
35
问题
设有两个非零矩阵A=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，B=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
．
(1)计算AB
T
与A
T
B；
(2)求矩阵AB
T
的秩r(AB
T
)；
(3)设C=E一AB
T
，其中E为n阶单位矩阵．证明：C
T
C=E一BA
T
一AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1．
选项
答案
(1)AB
T
=[*],A
T
B=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
． (2)因AB
T
各行(列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB
T
)=1. (3)由于C
T
C=(E一AB
T
)
T
(E一AB
T
)=(E一BA
T
)(E一AB
T
)=E-BA
T
一AB
T
+BA
T
AB
T
， 故若要求C
T
C=E一BA
T
-AB
T
+BB
T
，则BA
T
AB
T
-BB
T
=O，B(A
T
A一1)B
T
=O，即(A
T
A一1)BB
T
=O． 因为B≠O，所以BB
T
≠O．故C
T
C=E-BA
T
一AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wNW4777K
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考研数学三
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