已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．

admin2017-10-21 91

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
求作正交变换X=QY，把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形．

选项

答案[*] 得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量： [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组x₁—x₂=0，求出基础解系η₁=(0，0，1)^T，η₂=(1，1，0)^T．它们正交，单位化：[*] 方程x₁一x₂=0的系数向量(1，一1，0)^T和η₁，η₂都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α₁,α₂,α₃)，则 [*] 作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y₁²+2y₂²．

解析

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考研数学三

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