已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形.

admin2017-10-21  27

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.
求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形.

选项

答案[*] 得A的特征值为2,2,0. 对特征值2求两个正交的单位特征向量: [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组x1—x2=0,求出基础解系η1=(0,0,1)T,η2=(1,1,0)T.它们正交,单位化:[*] 方程x1一x2=0的系数向量(1,一1,0)T和η1,η2都正交,是属于特征值0的一个特征向量,单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α123),则 [*] 作正交变换X=QY,则f化为Y的二次型f=2y12+2y22

解析
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