设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．

admin2019-04-08 83

问题设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A^-1一E｜=______．

选项

答案3

解析所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得
P^-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP^-1．
于是A^-1=PΛ^-1P^-1，4A^-1一E=4PΛ^-1P^-1一PEP^-1=P(4Λ^-1一E)P^-1．两端取行列式有
｜4A^-1一E｜=｜P｜｜4Λ^-1一E｜｜P^-1｜=｜4Λ^-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．

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