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设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=______.
设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=______.
admin
2019-04-08
53
问题
设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A
-1
一E|=______.
选项
答案
3
解析
所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关,现用加强条件法求出此结果.如A与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵P,使得
P
-1
AP=diag(1,2,2)=Λ,即A=PΛP
-1
.
于是A
-1
=PΛ
-1
P
-1
,4A
-1
一E=4PΛ
-1
P
-1
一PEP
-1
=P(4Λ
-1
一E)P
-1
.两端取行列式有
|4A
-1
一E|=|P||4Λ
-1
一E||P
-1
|=|4Λ
-1
一E|=|4diag(1,1/2,1/2)一E|=3.
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考研数学一
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