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  3. [2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣，则( )．

[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣，则( )．

admin2021-01-19  37
问题  [2004年]  设f(x)=∣x(1一x)∣，则(    )．
选项 A、x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是f(x)的极值点，点(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点
答案C
解析 判别分段函数的极值点与拐点，只需讨论x=0的两侧f′(x)，f″(x)的符号．
解一  由f(x)=，知f(x)在x=0处不可导．但x＜0时，
f′(x)=(一x+x2)′=一l+2x，f″(x)=2；x＞0时，f′(x)=(x一x2)′=l－2x，
f″(x)=一2．因而f′(x)及f″(x)在x=0的左、右两侧改变符号，故x=0既是f(x)的极值点，点(0，0)也是曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．
解二  先作出y=x(1一x)=一x2+x=一(x一1／2)2+1／4(0≤x≤1)的图形，再对x＜0及x＞1分别作出y=x(1－x)=一(x一1／2)+1／4取正值的图形，如图1．2．5．7所示．

    在x=0附近，函数f(x)左减右增，则f(0)为极小值，且在x=1附近函数f(x)也是左减右增，因而f(1)也为极小值．
    又在x=0的左侧，曲线y=f(x)为凹，右侧为凸，故点(0，0)为拐点，且在,x=1的左侧曲线y=f(x)为凸，右侧为凹，故点(1，f(1)=0)也为曲线y=f(x)的拐点．仅(C)入选．
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考研数学二

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