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[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在ξ∈(0,1),使得f′(∈)=1;
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在ξ∈(0,1),使得f′(∈)=1;
admin
2019-06-09
74
问题
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
存在ξ∈(0,1),使得f′(∈)=1;
选项
答案
证一 由f′(ξ)=1得f′(ξ)一1=0,[f(x)一x]′∣
x=ξ
=0,因而令辅助函数 F(x)=f(x)-x.因F(1)=f(1)一l=l一1=0,又f(x)为奇函数,故f(0)=0,于是F(0)=f(0)-0=0.显然F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的其他条件,由该定理知,存在ξ∈(0,1), 使F′(ξ)=0,即f′(ξ)一1=0,f′(ξ)=1. 证二 也可用拉格朗日中值定理证之,注意到f(1)=1,f(0)=0,对f(x)在[0,1]上使用拉格朗日中值定理得到:存在ξ∈(0,1)使f(1)一f(0)=(1—0)f′(ξ),即f′(ξ)=1.
解析
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考研数学二
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