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设f(x)在区间(-∞,﹢∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x-t)sin tdt﹢x.则在(-∞,﹢∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
设f(x)在区间(-∞,﹢∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x-t)sin tdt﹢x.则在(-∞,﹢∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
admin
2022-09-14
49
问题
设f(x)在区间(-∞,﹢∞)上连续,且满足f(x)=∫
0
x
f(x-t)sin tdt﹢x.则在(-∞,﹢∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
选项
A、恒为正.
B、恒为负.
C、与x同号.
D、与x异号.
答案
C
解析
令x-t=u,作积分变量代换,得
f(x)=∫
x
0
f(u)sin(x-u)d(-u)﹢x=∫
0
x
f(u)sin(x-u)du﹢x
=sin x∫
0
x
f(u)cos udu-cos x∫
0
x
f(u)sinudu﹢x,
f
’
(x)=cos x∫
0
x
f(u)cos udu﹢sin x·cos x·f(x)﹢sin x∫
0
x
f(u)sin udu-cos x·sin x·f(x)﹢1
=cos x∫
0
x
f(u)cos udu﹢sin x∫
0
x
f(u)sin udu﹢1,
f
”
(x)=-sin x∫
0
x
f(u)cos udu﹢cos
2
x·f(x)﹢cos x∫
0
x
f(u)sin udu﹢sin
2
x·f(z)
=f(x)-f(x)﹢x=x,
所以f(x)=
﹢C
1
x﹢C
2
.又因f(0)=0,f
’
(0)=1,所以C
1
=1,C
2
=0.从而
.
故应选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wTf4777K
0
考研数学二
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