2. 考研
  3. 设f(x)在区间(－∞，﹢∞)上连续，且满足f(x)＝∫0xf(x－t)sin tdt﹢x．则在(－∞，﹢∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

设f(x)在区间(－∞，﹢∞)上连续，且满足f(x)＝∫0xf(x－t)sin tdt﹢x．则在(－∞，﹢∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2022-09-14  22
问题 设f(x)在区间(－∞，﹢∞)上连续，且满足f(x)＝∫0xf(x－t)sin tdt﹢x．则在(－∞，﹢∞)上，当x≠0时，f(x)    (    )
选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、与x同号．
D、与x异号．
答案C
解析 令x－t＝u，作积分变量代换，得
f(x)＝∫x0f(u)sin(x－u)d(－u)﹢x＝∫0xf(u)sin(x－u)du﹢x
＝sin x∫0xf(u)cos udu－cos x∫0xf(u)sinudu﹢x，
f’(x)＝cos x∫0xf(u)cos udu﹢sin x·cos x·f(x)﹢sin x∫0xf(u)sin udu－cos x·sin x·f(x)﹢1
＝cos x∫0xf(u)cos udu﹢sin x∫0xf(u)sin udu﹢1，
f”(x)＝－sin x∫0xf(u)cos udu﹢cos2x·f(x)﹢cos x∫0xf(u)sin udu﹢sin2x·f(z)
＝f(x)－f(x)﹢x＝x，
所以f(x)＝﹢C1x﹢C2．又因f(0)＝0，f’(0)＝1，所以C1＝1，C2＝0．从而．
故应选(C)．
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考研数学二

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