已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx — 2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。

admin2017-12-29 53

问题已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx — 2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x²+

≤1}上的最大值和最小值。

选项

答案根据题意可知[*]=— 2y，于是f（x，y）=x²+C（y），且 C’（y）=—2y，因此有C（y）=— y²+C，由f（1，1）=2，得C=2，故 f（x，y）=x²一y²+2。令[*]=0得可能极值点为x=0，y=0。且 [*] △=B²—AC =4＞0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线x²+[*]=1上的情形，令拉格朗日函数为 [*] 得可能极值点x=0，y=2，λ=4;x =0，y=—2，λ=4;x=1，y=0，λ=—1;x =—1，y=0，λ=—1。将其分别代入f（x，y）得，f（0，±2）=一2f（±1，0）=3，因此z=f（x，y）在区域D={（x，y）|x²+[*]≤1}内的最大值为3，最小值为—2。

解析

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考研数学三

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已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx — 2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。

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