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已知函数z=f(x,y)的全微分出=2xdx — 2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。
已知函数z=f(x,y)的全微分出=2xdx — 2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。
admin
2017-12-29
94
问题
已知函数z=f(x,y)的全微分出=2xdx — 2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x
2
+
≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案
根据题意可知[*]=— 2y,于是f(x,y)=x
2
+C(y),且 C’(y)=—2y,因此有C(y)=— y
2
+C,由f(1,1)=2,得C=2,故 f(x,y)=x
2
一y
2
+2。 令[*]=0得可能极值点为x=0,y=0。且 [*] △=B
2
—AC =4>0,所以点(0,0)不是极值点,也不可能是最值点。 下面讨论其边界曲线x
2
+[*]=1上的情形,令拉格朗日函数为 [*] 得可能极值点x=0,y=2,λ=4;x =0,y=—2,λ=4;x=1,y=0,λ=—1;x =—1,y=0,λ=—1。 将其分别代入f(x,y)得,f(0,±2)=一2f(±1,0)=3,因此z=f(x,y)在区域D={(x,y)|x
2
+[*]≤1}内的最大值为3,最小值为—2。
解析
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考研数学三
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