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  3. 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )

设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )

admin2021-10-08  9
问题 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是    (    )
选项 A、Ax=0；A2x=0   
B、A2x=0；A3x=0
C、A3x=0；A4x=0
D、A4x=0；A5x=0
答案D
解析 方法一  显然，若Aix=0，两端左边乘A，得Ai+1x=0，i=1，2，3，4．反之，若Ai+1x=0，是否有Aix=0呢?
取

A4=O．
取x=[0，0，0，1]T，有A4x=0，但A3x≠0．C不成立．
取x=[0，0，1，0]T，有A3x=0，但A2x≠0．B不成立．
取x=[0，1，0，0]T，有A2x=0，但Ax≠0．A不成立．
由排除法，应选D．
方法二  证明D成立．由方法一易知A4x=0=>A5x=0，现证A5x=0=>A4x=0．
    用反证法．设A5x=0，但A4x≠0．因x，Ax，A2x，A3x，A4x，五个4维向量必线性相关，故存在不
全为零的数ko，k1，2，k3，k4，使得k0x+k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0．    (*)
    (*)式两端左边乘A4，得k0A4x+k1AA5x+k2A6x+k3A7x+k4A8x=0=>k0A4x=0．
    因A4x≠0，则k0=0．将k0=0代入(*)式，得k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0．  (**)
    同理可证得k1=0，k2=0，k3=0，k4=0．这和已知五个4维向量线性相关矛盾．故A5x=0=>A4x=0．故A5x=0<=>A4x=0．D是同解方程组，应选D．
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