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设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )
设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )
admin
2021-10-08
8
问题
设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是 ( )
选项
A、Ax=0;A
2
x=0
B、A
2
x=0;A
3
x=0
C、A
3
x=0;A
4
x=0
D、A
4
x=0;A
5
x=0
答案
D
解析
方法一 显然,若A
i
x=0,两端左边乘A,得A
i+1
x=0,i=1,2,3,4.反之,若A
i+1
x=0,是否有A
i
x=0呢?
取
A
4
=O.
取x=[0,0,0,1]
T
,有A
4
x=0,但A
3
x≠0.C不成立.
取x=[0,0,1,0]
T
,有A
3
x=0,但A
2
x≠0.B不成立.
取x=[0,1,0,0]
T
,有A
2
x=0,但Ax≠0.A不成立.
由排除法,应选D.
方法二 证明D成立.由方法一易知A
4
x=0=>A
5
x=0,现证A
5
x=0=>A
4
x=0.
用反证法.设A
5
x=0,但A
4
x≠0.因x,Ax,A
2
x,A
3
x,A
4
x,五个4维向量必线性相关,故存在不
全为零的数k
o
,k
1
,
2
,k
3
,k
4
,使得k
0
x+k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0. (*)
(*)式两端左边乘A
4
,得k
0
A
4
x+k
1
AA
5
x+k
2
A
6
x+k
3
A
7
x+k
4
A
8
x=0=>k
0
A
4
x=0.
因A
4
x≠0,则k
0
=0.将k
0
=0代入(*)式,得k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0. (**)
同理可证得k
1
=0,k
2
=0,k
3
=0,k
4
=0.这和已知五个4维向量线性相关矛盾.故A
5
x=0=>A
4
x=0.故A
5
x=0<=>A
4
x=0.D是同解方程组,应选D.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/waq4777K
0
考研数学一
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