设矩阵则A与B( )

admin2021-01-25 34

问题设矩阵

则A与B( )

选项 A、合同，且相似．
B、合同，但不相似．
C、不合同，但相似．
D、既不合同，也不相似．

答案B

解析由A的特征方程
|λE－A|

=(λ－3)²λ=0
得A的全部特征值为λ₁=λ₂=3，λ₃=0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3，0)，但由A的特征值知3元二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的秩及正惯性指数均为(二次型f=x^TAx经适当的正交变换可化成标准形f=3y₁²+3y₂²，再经可逆线性变换可化成规范形f=z₁²+z₂²，而f的矩阵A与f的规范形的矩阵B=diag(1，1，0)是合同的)．

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