设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2018-09-20 40

问题设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

选项

答案用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a+b)，ξ₁＜ξ₂，使得 [f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af’(ξ₂)一af’(ξ₁)．因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以f’(ξ₂)≤f’(ξ₁)，于是， [f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．

解析

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考研数学三

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