已知级数证明:f(x)+f(1一x)+lnx.ln(1一x)=

admin2017-05-31  29

问题 已知级数证明:f(x)+f(1一x)+lnx.ln(1一x)=

选项

答案因为幂级[*]的收敛域为[一1,1],所以函数f(x)的定义域是[一1,1],函数f(1一x)的定义域是[0,2]. 令函数F(x)=f(x)+f(1一x)+lnx.ln(1—x),则F(x)的定义域是(0,1). 由于 [*] 所以, F’(x)=f’(x)一f’(1一x)+[lnx.ln(1一x)]’=0,x∈(0,1). 因此,F(x)=f(z)+f(1一x)+lnx.ln(1一x)=c,x∈(0,1). 在上式两端,令x→1,取极限,得[*] 从而f(x)+f(1一x)+ lnx?ln(1一x)=[*]

解析 欲证明一个函数在整个区间上恒等于常数C,常用的一个方法是:证明其导数在该区间上恒为零,再计算某个x的函数值即得.
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