(2002年试题,十)设A,B为同阶方阵. 当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.

admin2014-07-06  91

问题 (2002年试题,十)设A,B为同阶方阵.
当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.

选项

答案由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.又A,B的特征多项式相等,可设其解为λ1,λ2,…,λn,则[*]即存在可逆矩阵P,Q使[*]于是(PQ-1)-1A(PQ-1)=B,由此知A,B相似.

解析 注意若A一B,则A、B的特征多项式相等,亦即它们具有相同的特征值;反过来,若A、B有相同的特征值,则A、B不一定相似.但若A、B具有相同的特征值,且特征值均不相等,则A、B相似.故第(2)问在举反例时,必须保证其特征值是重根.
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