(2002年试题，十)设A，B为同阶方阵．当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2014-07-06 121

问题 (2002年试题，十)设A，B为同阶方阵．
当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

选项

答案由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．又A，B的特征多项式相等，可设其解为λ₁，λ₂，…，λ_n，则[*]即存在可逆矩阵P，Q使[*]于是(PQ^-1)-1A(PQ^-1)=B，由此知A，B相似．

解析注意若A一B，则A、B的特征多项式相等，亦即它们具有相同的特征值；反过来，若A、B有相同的特征值，则A、B不一定相似．但若A、B具有相同的特征值，且特征值均不相等，则A、B相似．故第(2)问在举反例时，必须保证其特征值是重根．

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