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  3. 设函数f(x)在x＝0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ3f(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小．

设函数f(x)在x＝0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ3f(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小．

admin2021-01-19  59
问题 设函数f(x)在x＝0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ3f(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小．
选项
答案[详解1] 由题设知，[*]于是 [*][λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ3f(3h)－f(0)]＝λ1f(0)＋λ2f(0)＋λ3f(0)－f(0)＝0， 而f(0)≠0，因此有λ1＋λ2＋λ3－1＝0． 利用洛必塔法则，有[*] 同样有[*][λ1f’(h)＋2λ2f’(2h)十3λ3f’(3h)]＝(λ1＋2λ2＋3λ3)f’(0)＝0， 而f’(0)≠0，因此有λ1＋2λ2＋3λ3＝0． 再次利用洛必塔法则，有[*] 而f"(0)≠0，因此有λ1＋4λ2＋9λ3＝0． 可见λ1，λ2，λ3满足[*] 由于其系数行列式[*]＝2≠0，于是方程组有唯一解，即λ1，λ2，λ3可唯一确定． [详解2] 将f(h)，f(2h)，f(3h)分别在h＝0处用泰勒公式展开，于是有 λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ1f(3h)－f(0) [*] ＝(λ1＋λ2＋λ3—1)f(0)＋(λ1＋2λ2＋3λ3)f’(0)h＋(λ＋4λ2＋9λ3)[*] 可见λ1，λ2，λ3满足[*] 此方程组有唯一解，因此λ1，λ2，λ3可唯一确定．
解析 题设相当于已知，由此可用洛必塔法则或泰勒公式确定λ1，λ2，λ3是唯一的．
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考研数学二

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