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设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
admin
2021-01-19
37
问题
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
选项
答案
[详解1] 由题设知,[*]于是 [*][λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)]=λ
1
f(0)+λ
2
f(0)+λ
3
f(0)-f(0)=0, 而f(0)≠0,因此有λ
1
+λ
2
+λ
3
-1=0. 利用洛必塔法则,有[*] 同样有[*][λ
1
f’(h)+2λ
2
f’(2h)十3λ
3
f’(3h)]=(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f’(0)=0, 而f’(0)≠0,因此有λ
1
+2λ
2
+3λ
3
=0. 再次利用洛必塔法则,有[*] 而f"(0)≠0,因此有λ
1
+4λ
2
+9λ
3
=0. 可见λ
1
,λ
2
,λ
3
满足[*] 由于其系数行列式[*]=2≠0,于是方程组有唯一解,即λ
1
,λ
2
,λ
3
可唯一确定. [详解2] 将f(h),f(2h),f(3h)分别在h=0处用泰勒公式展开,于是有 λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
1
f(3h)-f(0) [*] =(λ
1
+λ
2
+λ
3
—1)f(0)+(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f’(0)h+(λ+4λ
2
+9λ
3
)[*] 可见λ
1
,λ
2
,λ
3
满足[*] 此方程组有唯一解,因此λ
1
,λ
2
,λ
3
可唯一确定.
解析
题设相当于已知
,由此可用洛必塔法则或泰勒公式确定λ
1
,λ
2
,λ
3
是唯一的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wq84777K
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考研数学二
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