已知是矩阵的一个特征向量．问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．

admin2019-05-08 42

问题已知

是矩阵

的一个特征向量．
问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．

选项

答案因为[*] 故A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=－1．因 [*] 所以秩(E－A)=2，从而A的属于三重特征根λ=－1的线性无关的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1个，由命题2．5．3．2(3)知，A不能相似对角化．注：命题2．5．3．2 (3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的n_i重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数n_i，即n－秩(λ_iE－A)=n_i，亦即秩(r_iE－A)=n－n_i，其中n_i为特征值λ_i的重数，从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵r_iE－A的秩的计算问题．

解析

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考研数学三

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