设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b.求证:存在ξ∈(a,b),使pf(c)+qf(d)=(p+g)f(ξ),其中p>0,q>0为任意常数.

admin2019-08-06  36

问题 设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b.求证:存在ξ∈(a,b),使pf(c)+qf(d)=(p+g)f(ξ),其中p>0,q>0为任意常数.

选项

答案利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题. 令 [*] 由f(x)在[a,b]上连续,而[c,d][*][a,b],可知f(x)在[c,d]上连续,于是存在 [*] 即η是f(x)在[c,d]上的值域[m,M]上的一个值. 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知,必存在ξ∈[c,d][*](a,b)使f(ξ)=η,即 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)成立.

解析
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