A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij→ATA=E且|A|=1； (2)aij=-Aij→ATA=E且|A|=一1．

admin2019-03-21 32

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij→A^TA=E且|A|=1；
(2)a_ij=-A_ij→A^TA=E且|A|=一1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A*，则A^TA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij 不全为0，所以tr(AA^T)=[*]而tr(AA^T)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AA^T=|A|E两边取行列式，得|A|^n-2=1，|A|=1．反之，若A^TA=E且|A|=1，则A^*A=|A|E=E且A可逆，于是，A^TA=A*A，A^T=A*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A*，则A^TA=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij一不全为0，所以[*]在A^TA=一|A|E两边取行列式得|A|=一1．反之，若A^TA=E且|A|=一1，由于A*A=|A|E=一E，于是，A^TA=一A*A．进一步，由于A可逆，得A^T=-A*，即a_ij=-A_ij

解析

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考研数学二

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij→ATA=E且|A|=1； (2)aij=-Aij→ATA=E且|A|=一1．

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