2. 考研
  3. A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij→ATA=E且|A|=1； (2)aij=-Aij→ATA=E且|A|=一1．

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij→ATA=E且|A|=1； (2)aij=-Aij→ATA=E且|A|=一1．

admin2019-03-21  106
问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明：
(1)aij=Aij→ATA=E且|A|=1；
(2)aij=-Aij→ATA=E且|A|=一1．
选项
答案(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij 不全为0，所以tr(AAT)=[*]而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1． 反之，若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E=E且A可逆，于是，ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． (2)当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij一不全为0，所以[*]在ATA=一|A|E两边取行列式得|A|=一1． 反之，若ATA=E且|A|=一1，由于A*A=|A|E=一E，于是，ATA=一A*A．进一步，由于A可逆，得AT=-A*，即aij=-Aij
解析
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考研数学二

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